Kinematik mit Graphen Da Sie keine Taschenrechner verwenden dürfen, legt SAT II Physics einen Schwerpunkt auf qualitative Probleme. Eine gängige Methode, die Kinematik qualitativ zu testen, ist, Ihnen eine graphische Darstellung der Position gegenüber der Zeit, der Geschwindigkeit gegenüber der Zeit oder der Beschleunigung gegen die Zeit zu präsentieren und Ihnen Fragen über die Bewegung des durch die Grafik dargestellten Objekts zu stellen. Weil SAT II Physik vollständig aus Multiple-Choice-Fragen besteht, muss man nicht wissen, wie man Graphen zeichnet, die man nur die in ihnen präsentierten Daten interpretieren muss. Das Wissen, wie man solche Graphen schnell und genau liest, hilft Ihnen nicht nur, Probleme dieser Art zu lösen, sondern wird auch Ihnen helfen, das oft abstrakte Reich der kinematischen Gleichungen zu visualisieren. In den folgenden Beispielen werden wir die Bewegung einer Ameise, die hin und her läuft, entlang einer Linie untersuchen. Position vs. Time Graphs Position vs. Zeitgraphen geben Ihnen eine einfache und offensichtliche Möglichkeit, eine Objektverschiebung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, und eine subtilere Art, diese Objektgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Lets setzen diese Konzepte in die Praxis um, indem wir uns die folgende Grafik anschauen, die die Bewegungen unserer freundlichen Ameise zeigt. Jeder Punkt auf dieser Grafik gibt uns die Position der Ameise zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zeit. Zum Beispiel sagt uns der Punkt bei (2,2), dass zwei Sekunden nach dem Umzug die Ameise zwei Zentimeter links von ihrer Ausgangsposition, und der Punkt bei (3,1) sagt uns, dass drei Sekunden Nachdem es angefangen hat, ist die Ameise ein Zentimeter rechts von ihrer Ausgangsposition. Lasst uns lesen, was der Graph uns über die Ameisenbewegungen erzählen kann. Für die ersten zwei Sekunden bewegt sich die Ameise nach links. Dann kehrt es in der nächsten Sekunde seine Richtung um und bewegt sich schnell zu y 1. Die Ameise bleibt dann drei Sekunden lang bei y 1, bevor sie wieder links abbiegt und zurück zu dem, wo sie angefangen hat. Beachten Sie, wie genau die Grafik alle diese Informationen zeigt. Wir kennen die Ameisenverdrängung, und wir wissen, wie lange es dauert, von Ort zu Ort zu ziehen. Bewaffnet mit dieser Information sollten wir auch in der Lage sein, die Ameisengeschwindigkeit zu bestimmen, da die Geschwindigkeit die Änderungsgeschwindigkeit der Verschiebung über die Zeit misst. Wenn hier die Verschiebung durch den Vektor y gegeben ist. Dann ist die Geschwindigkeit der Ameise Wenn Sie sich erinnern, ist die Steigung eines Graphen ein Maß für den Anstieg über den Lauf, dh der Betrag der Änderung in der y-Richtung geteilt durch den Betrag der Änderung in der x-Richtung. In unserem Graphen ist die Änderung in der y-Richtung und ist die Änderung in der x-Richtung, also ist v ein Maß für die Neigung des Graphen. Für jede Position gegenüber dem Zeitgraphen ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t gleich der Steigung der Linie bei t. In einem Graphen, der aus geraden Linien besteht, wie der oben genannte, können wir leicht die Steigung an jedem Punkt auf dem Graphen berechnen und daher die momentane Geschwindigkeit zu irgendeiner gegebenen Zeit kennen. Wir können sagen, dass die Ameise eine Geschwindigkeit von Null von t 3 bis t 6 hat. Da die Steigung der Linie an diesen Punkten Null ist. Wir können auch sagen, dass die Ameise mit der schnellsten Geschwindigkeit zwischen t 2 und t 3 kreuzt, da die Position gegenüber dem Zeitdiagramm zwischen diesen Punkten steil ist. Die Berechnung der Ameisen-Durchschnittsgeschwindigkeit während dieses Zeitintervalls ist eine einfache Sache der Aufteilung des Auflaufs, wie wir in der Mathematik-Klasse gelernt haben. Wie wäre es mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit zwischen t 0 und t 3. Es ist eigentlich einfacher, dies mit einem Graphen vor uns zu sortieren, weil es einfach ist, die Verschiebung bei t 0 und t 3 zu sehen und damit wir nicht Verschiebung und Distanz verwechseln . Obwohl die Gesamtverschiebung in den ersten drei Sekunden ein Zentimeter nach rechts ist, ist die Gesamtstrecke zwei Zentimeter nach links und dann drei Zentimeter nach rechts, für eine Gesamtsumme von fünf Zentimetern. Somit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht die gleiche wie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Ameise. Sobald wir die Gesamtstrecke berechnet haben, die von der Ameise zurückgelegt wird, ist die Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit nicht schwierig: Gekrümmte Position gegen Zeitgraphen Das ist alles gut und gut, aber wie berechnen Sie die Geschwindigkeit einer gekrümmten Position gegenüber dem Zeitdiagramm , Die schlechte Nachricht ist, dass Sie brauchen Kalkül. Die gute Nachricht ist, dass SAT II Physik nicht erwarten, dass Sie Kalkül verwenden, also, wenn Sie eine gebogene Position gegenüber Zeitdiagramm gegeben werden, werden Sie nur qualitative Fragen gefragt und werden nicht erwartet, irgendwelche Berechnungen zu machen. Ein paar Punkte auf dem Diagramm werden wahrscheinlich beschriftet werden, und Sie müssen identifizieren, welcher Punkt die größte oder geringste Geschwindigkeit hat. Denken Sie daran, der Punkt mit dem größten Hang hat die größte Geschwindigkeit, und der Punkt mit der geringsten Steigung hat die geringste Geschwindigkeit. Die Wendepunkte des Graphen, die Gipfel der Hügel und die Böden der Täler, wo die Steigung Null ist, haben Nullgeschwindigkeit. In diesem Diagramm ist beispielsweise die Geschwindigkeit an den Punkten A und C null. Am besten am Punkt D. Und am kleinsten am Punkt B. Die Geschwindigkeit am Punkt B ist am kleinsten, weil die Steigung an diesem Punkt negativ ist. Da die Geschwindigkeit eine Vektorgröße ist, wäre die Geschwindigkeit bei B eine große negative Zahl. Allerdings ist die Geschwindigkeit bei B größer als die Geschwindigkeit bei D. Geschwindigkeit ist eine Skalarmenge, und so ist es immer positiv. Der Hang bei B ist noch steiler als bei D. So ist die Geschwindigkeit am besten bei B. Velocity vs. Time Graphs Velocity vs. Zeitgraphen sind die beredtste Art von Grafik, die hier gut aussehen wird. Sie erzählen uns sehr direkt, was die Geschwindigkeit eines Gegenstandes zu irgendeiner gegebenen Zeit ist, und sie liefern subtile Mittel, um sowohl die Position als auch die Beschleunigung des gleichen Objekts über die Zeit zu bestimmen. Der Gegenstand, dessen Geschwindigkeit unten gezeichnet wird, ist unsere immerwürdige Ameise, ein wenig später am Tag. Wir können zwei Dinge über die Ameisengeschwindigkeit durch einen schnellen Blick auf den Graphen lernen. Zuerst können wir genau sagen, wie schnell es zu einem bestimmten Zeitpunkt geht. Zum Beispiel können wir sehen, dass, zwei Sekunden nach dem Beginn der Bewegung, die Ameise bewegt sich bei 2 cm. Zweitens können wir sagen, in welche Richtung sich die Ameise bewegt. Von t 0 bis t 4 ist die Geschwindigkeit positiv, dh die Ameise bewegt sich nach rechts. Von t 4 bis t 7 ist die Geschwindigkeit negativ, was bedeutet, dass sich die Ameise nach links bewegt. Wir können die Beschleunigung auf einer Geschwindigkeit gegen Zeitdiagramm auf die gleiche Weise berechnen, wie wir die Geschwindigkeit auf einer Position vs. Zeitdiagramm berechnen. Die Beschleunigung ist die Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors, die sich als die Steigung des Geschwindigkeits-Zeit-Graphen ausdrückt. Für eine Geschwindigkeits-Zeit-Graph ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt t gleich der Steigung der Linie bei t. Was ist die Beschleunigung unserer Ameise bei t 2.5 und t 4. Wenn wir uns schnell an den Graphen anschauen, sehen wir, dass die Steigung der Linie bei t 2,5 Null ist und somit die Beschleunigung ebenfalls Null ist. Die Steigung des Graphen zwischen t 3 und t 5 ist konstant, so dass wir die Beschleunigung bei t 4 berechnen können, indem wir die mittlere Beschleunigung zwischen t 3 und t 5 berechnen: Das Minuszeichen sagt uns, dass die Beschleunigung in der nach links gerichteten Richtung ist Definiert die y-Koordinaten so, dass rechts positiv und links negativ ist. Bei t 3 bewegt sich die Ameise nach rechts bei 2 cm, so dass eine nach links gerichtete Beschleunigung bedeutet, dass die Ameise zu verlangsamen beginnt. Wenn wir die Grafik betrachten, können wir sehen, dass die Ameise bei t 4 aufhört und dann nach rechts beschleunigt. Velocity vs. Zeitgraphen können uns auch über eine Objektverschiebung erzählen. Weil die Geschwindigkeit ein Maß für die Verschiebung über die Zeit ist, können wir folgern, dass: Graphisch bedeutet dies, dass die Verschiebung in einem gegebenen Zeitintervall gleich dem Bereich unter dem Graphen während des gleichen Zeitintervalls ist. Ist der Graph oberhalb der t-Achse, so ist die positive Verschiebung der Bereich zwischen dem Graphen und der t-Achse. Wenn der Graph unterhalb der t-Achse liegt, dann ist die Verschiebung negativ und ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse. Lasst uns zwei Beispiele anschauen, um diese Regel klarer zu machen. Erstens, was ist die Ameisen Verschiebung zwischen t 2 und t 3. Da die Geschwindigkeit während dieses Zeitintervalls konstant ist, ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse ein Rechteck der Breite 1 und der Höhe 2. Die Verschiebung zwischen t 2 und T 3 ist die Fläche dieses Rechtecks, die 1 cm 2 cm rechts ist. Als nächstes betrachten wir die Ameisenverlagerung zwischen t 3 und t 5. Dieser Teil des Graphen gibt uns zwei Dreiecke, eine über der t-Achse und eine unterhalb der t-Achse. Beide Dreiecke haben eine Fläche von 1 2 (1 s) (2 cm) 1 cm. Allerdings liegt das erste Dreieck oberhalb der t-Achse, was bedeutet, dass die Verschiebung positiv und damit rechts ist, während das zweite Dreieck unterhalb der t-Achse liegt, was bedeutet, dass die Verschiebung negativ und damit nach links ist. Die Gesamtverschiebung zwischen t 3 und t 5 ist: Mit anderen Worten, bei t 5 ist die Ameise an der gleichen Stelle wie bei t 3. Curved Velocity vs. Time Graphs Wie bei Positions-Zeit-Graphen können auch Geschwindigkeits-Zeit-Graphen gekrümmt werden. Denken Sie daran, dass Regionen mit einem steilen Hang eine schnelle Beschleunigung oder Verzögerung anzeigen, Regionen mit einer sanften Neigung zeigen eine kleine Beschleunigung oder Verzögerung an und die Wendepunkte haben keine Beschleunigung. Beschleunigung vs. Zeitdiagramme Nach dem Betrachten von Positions-Zeit-Graphen und Geschwindigkeits-Zeit-Graphen sollten Beschleunigungs - und Zeitdiagramme nicht bedrohen. Lasst uns die Beschleunigung unserer Ameise an einem anderen Punkt in seinem schwindeligen Tag anschauen. Beschleunigung vs. Zeitgraphen geben uns Informationen über Beschleunigung und über Geschwindigkeit. SAT II Physik haftet im Allgemeinen an Problemen, die eine konstante Beschleunigung beinhalten. In diesem Graphen beschleunigt die Ameise bei 1 ms 2 von t 2 bis t 5 und beschleunigt nicht zwischen t 6 und t 7, dh zwischen t 6 und t 7 ist die Ameisengeschwindigkeit konstant. Berechnen der Änderung in der Geschwindigkeitsbeschleunigung vs. Zeitgraphen erzählen uns über eine Objektgeschwindigkeit in der gleichen Weise, wie Geschwindigkeit und Zeitgraphen uns über eine Objektverschiebung erzählen. Die Geschwindigkeitsänderung in einem gegebenen Zeitintervall ist gleich dem Bereich unter dem Graphen während des gleichen Zeitintervalls. Sei vorsichtig: Der Bereich zwischen dem Graphen und der t-Achse gibt die Geschwindigkeitsänderung, nicht die endgültige Geschwindigkeit oder die mittlere Geschwindigkeit über einen gegebenen Zeitraum. Was ändert sich die Ameise in der Geschwindigkeit zwischen t 2 und t 5. Da die Beschleunigung während dieses Zeitintervalls konstant ist, ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse ein Rechteck der Höhe 1 und der Länge 3. Die Fläche des schattierten Bereichs , Und folglich die Geschwindigkeitsänderung während dieses Zeitintervalls beträgt 1 cm 2 3 s 3 cms nach rechts. Dies bedeutet nicht, dass die Geschwindigkeit bei t 5 3 cm ist, bedeutet dies einfach, dass die Geschwindigkeit 3 cm größer ist als bei t 2. Da wir die Geschwindigkeit bei t 2 nicht gegeben haben, können wir nicht sofort sagen, was die Geschwindigkeit ist T 5 Zusammenfassung der Regeln für das Lesen von Graphen Sie können Schwierigkeiten haben, sich zu erinnern, wann man die Piste sucht und wann man den Bereich unter dem Graphen sucht. Hier sind ein paar handliche Faustregeln: Die Steigung auf einem gegebenen Graphen entspricht der Menge, die wir erhalten, indem wir die y-Achse durch die x-Achse teilen. Zum Beispiel gibt die y-Achse einer Position gegen Zeitgraph uns Verschiebung, und die x-Achse gibt uns Zeit. Verschiebung geteilt durch die Zeit gibt uns Geschwindigkeit, was ist, was die Steigung einer Position gegenüber Zeitdiagramm darstellt. Der Bereich unter einem gegebenen Graphen entspricht der Menge, die wir durch Multiplikation der x-Achse und der y-Achse erhalten. Zum Beispiel gibt uns die y-Achse einer Beschleunigungs - und Zeitgrafik Beschleunigung, und die x-Achse gibt uns Zeit. Die Beschleunigung multipliziert mit der Zeit gibt uns die Geschwindigkeitsänderung, was der Bereich zwischen dem Graphen und der x-Achse darstellt. Wir können zusammenfassen, was wir über Graphen in einer Tabelle wissen: Durchschnittliche Geschwindigkeit Die Bewegung von Objekten wird im Zweig der Physik beschrieben, der Kinematik ist, die unter Mechanik kommt. Dies wird mit Begriffen wie Skalar - und Vektormengen, Verschiebung und Distanz, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Geschwindigkeit untersucht, die manuell für die Bewegung von Objekten verwendet wird. Vektorgrößen werden durch ihre Größe mit der Richtung erklärt, während Skalar nur ihren numerischen Wert ohne die Richtungserklärung verwendet wird. Die skalare Mengengeschwindigkeit zeigt die Echtheit eines beliebigen Objekts, wie schnell das Objekt bewegt werden kann. Der Wert der Geschwindigkeit ist Null, wenn keine Bewegung durch das Objekt angezeigt wird. Dies ist grundsätzlich eine Distanz, die von dem bewegten Objekt abgedeckt wird. Wenn ein Objekt bewegt wird, erfährt es viele Geschwindigkeitsänderungen. So bewegt sich die Nadel des Tachometers ständig nach oben oder unten, um die richtige Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu zeigen. Aber der Durchschnitt aller Geschwindigkeit zeigt die ganze Bewegung des Gegenstandes zu einem bestimmten Zeitpunkt. Lets diskutieren durchschnittliche Geschwindigkeit und seine Problemlösung Formel. Durchschnittliche Geschwindigkeit Definition Die durchschnittliche Geschwindigkeit, wie aus dem Namen selbst ersichtlich, ist der Durchschnitt der Geschwindigkeit eines bewegten Objekts für die Gesamtstrecke, die es abgedeckt hat. Die durchschnittliche Geschwindigkeit bezieht sich auf die vom Objekt zurückgelegte Strecke und ist eine Skalargröße, dh sie ist nur durch die Größe und die Fahrtrichtung repräsentiert, ist nicht wichtig. Die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit wird berechnet, indem man das Verhältnis der Gesamtstrecke, die durch das Objekt abgedeckt ist, zu dem Zeitpunkt findet, der genommen wird, um diesen Abstand zu decken. Es ist nicht der Durchschnitt der Geschwindigkeit. Die Gleichung für die durchschnittliche Geschwindigkeit ist gegeben durch: Die durchschnittliche Geschwindigkeit und die durchschnittliche Geschwindigkeit sind auch wie die Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit verwandt. Die mittlere Geschwindigkeit ist das Verhältnis der Gesamtverschiebung des Objekts über eine gegebene Zeit. Während die durchschnittliche Geschwindigkeit mit der Verschiebung des Objekts zusammenhängt, bezieht sich die Durchschnittsgeschwindigkeit auf die Gesamtstrecke, die vom Objekt zurückgelegt wird. Die Gleichung (2) stellt die mittlere Geschwindigkeitsformel eines Objekts dar, das sich mit einer variierenden Geschwindigkeit bewegt. Die durchschnittliche Geschwindigkeit wird manchmal für sofortige Geschwindigkeit missverstanden. Beide sind voneinander verschieden, in der durchschnittlichen Geschwindigkeit ist die Gesamtzeit groß, während in der momentanen Geschwindigkeitsbegrenzung der Geschwindigkeit, bei der die Zeit sich null nähert. Durchschnittliche Geschwindigkeitsprobleme Die folgenden Beispiele helfen uns zu verstehen, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet. Lösungsbeispiele Frage 1: Ein Läufer läuft auf einer Spur. Er vervollständigt 80 Meter Runde in 80 Sekunden. Nach dem Ziel ist er am Ausgangspunkt. Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Läufers während dieser Runde. Lösung: Um die durchschnittliche Geschwindigkeit des Läufers zu finden, müssen wir die von ihm abgedeckte Gesamtstrecke und die Gesamtzeit für die Entfernung dieser Distanz finden. In diesem Fall ist die von ihm abgedeckte Distanz gleich 800 Meter und er hat es in 80 Sekunden abgeschlossen. Also, Anwendung Formel für die durchschnittliche Geschwindigkeit haben wir S AVG frac. S AVG 10 ms, also die durchschnittliche Geschwindigkeit des Läufers auf der Strecke beträgt 10 ms. Frage 2: Ein Mann reist in seinem Auto von Stadt A nach Stadt B und zurück. Auf der Reise von Stadt A nach Stadt B fährt er mit der konstanten Geschwindigkeit von 40 km / h, und er reist mit der 45 km / h, während er zurückkommt. Die gesamte Reise dauerte 3 Stunden. Finden Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos für die ganze Reise Wie Sie sehen können, dass wir mit der Geschwindigkeit in der Richtung versehen sind, kann man direkt berechnen die durchschnittliche Geschwindigkeit durch Mittelung der beiden Geschwindigkeiten, aber es ist der falsche Ansatz. Nehmen wir an, dass die Distanz zwischen zwei Städten d ist. Die Zeit ist gleich 3 Stunden, um die Hin - und Rückfahrt zu vervollständigen. Nehmen wir auch an, dass die Zeit von A nach b t Stunden ist, so dass die Zeit von B nach A 3 Stunden beträgt. Nun ist der richtige Ansatz, um durchschnittliche Geschwindigkeit zu finden, wie folgt, zuerst finden Sie den Abstand in beide Richtung. D AB 40 mal t D BA 45 mal (3 - t) Da sowohl der Abstand D als auch D gleich sind (von Stadt A nach B und von Stadt B nach A), so können wir sagen, dass DD 40 mal t 45 mal (3 - t) 40t 135 - 45t 85t 135 t frac t 1,59 Stunden Also ist die Zeit von Stadt A nach B 1,59 Stunden und die Zeit von Stadt A nach B beträgt 1,41 Stunden. Jetzt finden wir die Distanz zwischen der Stadt A bis B ist DS mal t D 40 mal 1.59 63.53 kms Also, die durchschnittliche Geschwindigkeit der Hin - und Rückfahrt ist S frac D) T) Seit DD nehmen wir es D. So, Die Gesamtstrecke beträgt 2D 127,05 km, wobei diese Werte in die obige Gleichung gesetzt werden, um die Durchschnittsgeschwindigkeit S frac S 42,35 km / h zu finden. Frage 3: Vikram fuhr sein Auto für 3 Stunden mit einer Geschwindigkeit von 60 Meilen pro Stunde und für 4 Stunden bei 50 Meilen pro Stunde. Finde seine durchschnittliche Geschwindigkeit für die Reise Lösung: Für die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit müssen wir die Gesamtstrecke finden, die von Vikram zurückgelegt wird. D 1 60 mal 3 180 Meilen D 2 50 mal 4 200 Meilen Daher ist die Gesamtstrecke D D 1 D 2 D 180 200 D 380 Meilen Also ist die Durchschnittsgeschwindigkeit S AVG Frac S AVG Frac S AVG 54,29 Meilen pro Stunde. Also, die durchschnittliche Geschwindigkeit der Vikrams Fahrt mit dem Auto ist 54,29 Meilen pro Stunde. Frage 4: Herr B und Herr A fahren ihre Fahrräder von ihrem Haus zur Schule, die 14,4 Kilometer von ihrem Haus entfernt ist. Es dauert Mr. A 40 Minuten, um in die Schule zu kommen. Herr B kommt 20 Minuten nach Mr. A. Erfahren Sie, wie viel schneller Herr A in Bezug auf Mr. B Solution bewegt: Die Distanz, die von beiden abgedeckt werden soll, ist gleich 14,4 km. Mr. A vervollständigt es in 40 Minuten und Mr. B dauert 20 Minuten mehr als Mr. A, so dass Mr. B es in 60 Minuten vervollständigt. Also, der Unterschied der Geschwindigkeit von Herrn A und Herrn B ist: SA - SB 21.6 - 14.4 7.2 So ist Herr A 7,2 km / h schneller als Mr. B. Frage 5: Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit von 30 mph Stadt A bis B und zurück von Stadt B nach A mit der Geschwindigkeit von 40 mph. Finden Sie ihre durchschnittliche Geschwindigkeit Lösung: Für die Suche nach der durchschnittlichen Geschwindigkeit des Autos müssen wir zunächst die Gesamtdistanz identifizieren, die gleich dem zweifachen Abstand zwischen den Städten A und B ist. Die Zeit von A nach B ist Frac Zeit von B nach A genommen Ist frac Kinematik mit grafiken Da Sie keine Taschenrechner verwenden dürfen, legt SAT II Physics einen Schwerpunkt auf qualitative Probleme. Eine gängige Methode, die Kinematik qualitativ zu testen, ist, Ihnen eine graphische Darstellung der Position gegenüber der Zeit, der Geschwindigkeit gegenüber der Zeit oder der Beschleunigung gegen die Zeit zu präsentieren und Ihnen Fragen über die Bewegung des durch die Grafik dargestellten Objekts zu stellen. Weil SAT II Physik vollständig aus Multiple-Choice-Fragen besteht, muss man nicht wissen, wie man Graphen zeichnet, die man nur die in ihnen präsentierten Daten interpretieren muss. Das Wissen, wie man solche Graphen schnell und genau liest, hilft Ihnen nicht nur, Probleme dieser Art zu lösen, sondern wird auch Ihnen helfen, das oft abstrakte Reich der kinematischen Gleichungen zu visualisieren. In den folgenden Beispielen werden wir die Bewegung einer Ameise, die hin und her läuft, entlang einer Linie untersuchen. Position vs. Time Graphs Position vs. Zeitgraphen geben Ihnen eine einfache und offensichtliche Möglichkeit, eine Objektverschiebung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, und eine subtilere Art, diese Objektgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Lets setzen diese Konzepte in die Praxis um, indem wir uns die folgende Grafik anschauen, die die Bewegungen unserer freundlichen Ameise zeigt. Jeder Punkt auf dieser Grafik gibt uns die Position der Ameise zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zeit. Zum Beispiel sagt uns der Punkt bei (2,2), dass zwei Sekunden nach dem Umzug die Ameise zwei Zentimeter links von ihrer Ausgangsposition, und der Punkt bei (3,1) sagt uns, dass drei Sekunden Nachdem es angefangen hat, ist die Ameise ein Zentimeter rechts von ihrer Ausgangsposition. Lasst uns lesen, was der Graph uns über die Ameisenbewegungen erzählen kann. Für die ersten zwei Sekunden bewegt sich die Ameise nach links. Dann kehrt es in der nächsten Sekunde seine Richtung um und bewegt sich schnell zu y 1. Die Ameise bleibt dann drei Sekunden lang bei y 1, bevor sie wieder links abbiegt und zurück zu dem, wo sie angefangen hat. Beachten Sie, wie genau die Grafik alle diese Informationen zeigt. Wir kennen die Ameisenverdrängung, und wir wissen, wie lange es dauert, von Ort zu Ort zu ziehen. Bewaffnet mit dieser Information sollten wir auch in der Lage sein, die Ameisengeschwindigkeit zu bestimmen, da die Geschwindigkeit die Änderungsgeschwindigkeit der Verschiebung über die Zeit misst. Wenn hier die Verschiebung durch den Vektor y gegeben ist. Dann ist die Geschwindigkeit der Ameise Wenn Sie sich erinnern, ist die Steigung eines Graphen ein Maß für den Anstieg über den Lauf, dh der Betrag der Änderung in der y-Richtung geteilt durch den Betrag der Änderung in der x-Richtung. In unserem Graphen ist die Änderung in der y-Richtung und ist die Änderung in der x-Richtung, also ist v ein Maß für die Neigung des Graphen. Für jede Position gegenüber dem Zeitgraphen ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t gleich der Steigung der Linie bei t. In einem Graphen, der aus geraden Linien besteht, wie der oben genannte, können wir leicht die Steigung an jedem Punkt auf dem Graphen berechnen und daher die momentane Geschwindigkeit zu irgendeiner gegebenen Zeit kennen. Wir können sagen, dass die Ameise eine Geschwindigkeit von Null von t 3 bis t 6 hat. Da die Steigung der Linie an diesen Punkten Null ist. Wir können auch sagen, dass die Ameise mit der schnellsten Geschwindigkeit zwischen t 2 und t 3 kreuzt, da die Position gegenüber dem Zeitdiagramm zwischen diesen Punkten steil ist. Die Berechnung der Ameisen-Durchschnittsgeschwindigkeit während dieses Zeitintervalls ist eine einfache Sache der Aufteilung des Auflaufs, wie wir in der Mathematik-Klasse gelernt haben. Wie wäre es mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit zwischen t 0 und t 3. Es ist eigentlich einfacher, dies mit einem Graphen vor uns zu sortieren, weil es einfach ist, die Verschiebung bei t 0 und t 3 zu sehen und damit wir nicht Verschiebung und Distanz verwechseln . Obwohl die Gesamtverschiebung in den ersten drei Sekunden ein Zentimeter nach rechts ist, ist die Gesamtstrecke zwei Zentimeter nach links und dann drei Zentimeter nach rechts, für eine Gesamtsumme von fünf Zentimetern. Somit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht die gleiche wie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Ameise. Sobald wir die Gesamtstrecke berechnet haben, die von der Ameise zurückgelegt wird, ist die Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit nicht schwierig: Gekrümmte Position gegen Zeitgraphen Das ist alles gut und gut, aber wie berechnen Sie die Geschwindigkeit einer gekrümmten Position gegenüber dem Zeitdiagramm , Die schlechte Nachricht ist, dass Sie brauchen Kalkül. Die gute Nachricht ist, dass SAT II Physik nicht erwarten, dass Sie Kalkül verwenden, also, wenn Sie eine gebogene Position gegenüber Zeitdiagramm gegeben werden, werden Sie nur qualitative Fragen gefragt und werden nicht erwartet, irgendwelche Berechnungen zu machen. Ein paar Punkte auf dem Diagramm werden wahrscheinlich beschriftet werden, und Sie müssen identifizieren, welcher Punkt die größte oder geringste Geschwindigkeit hat. Denken Sie daran, der Punkt mit dem größten Hang hat die größte Geschwindigkeit, und der Punkt mit der geringsten Steigung hat die geringste Geschwindigkeit. Die Wendepunkte des Graphen, die Gipfel der Hügel und die Böden der Täler, wo die Steigung Null ist, haben Nullgeschwindigkeit. In diesem Diagramm ist beispielsweise die Geschwindigkeit an den Punkten A und C null. Am besten am Punkt D. Und am kleinsten am Punkt B. Die Geschwindigkeit am Punkt B ist am kleinsten, weil die Steigung an diesem Punkt negativ ist. Da die Geschwindigkeit eine Vektorgröße ist, wäre die Geschwindigkeit bei B eine große negative Zahl. Allerdings ist die Geschwindigkeit bei B größer als die Geschwindigkeit bei D. Geschwindigkeit ist eine Skalarmenge, und so ist es immer positiv. Der Hang bei B ist noch steiler als bei D. So ist die Geschwindigkeit am besten bei B. Velocity vs. Time Graphs Velocity vs. Zeitgraphen sind die beredtste Art von Grafik, die hier gut aussehen wird. Sie erzählen uns sehr direkt, was die Geschwindigkeit eines Gegenstandes zu irgendeiner gegebenen Zeit ist, und sie liefern subtile Mittel, um sowohl die Position als auch die Beschleunigung des gleichen Objekts über die Zeit zu bestimmen. Der Gegenstand, dessen Geschwindigkeit unten gezeichnet wird, ist unsere immerwürdige Ameise, ein wenig später am Tag. Wir können zwei Dinge über die Ameisengeschwindigkeit durch einen schnellen Blick auf den Graphen lernen. Zuerst können wir genau sagen, wie schnell es zu einem bestimmten Zeitpunkt geht. Zum Beispiel können wir sehen, dass, zwei Sekunden nach dem Beginn der Bewegung, die Ameise bewegt sich bei 2 cm. Zweitens können wir sagen, in welche Richtung sich die Ameise bewegt. Von t 0 bis t 4 ist die Geschwindigkeit positiv, dh die Ameise bewegt sich nach rechts. Von t 4 bis t 7 ist die Geschwindigkeit negativ, was bedeutet, dass sich die Ameise nach links bewegt. Wir können die Beschleunigung auf einer Geschwindigkeit gegen Zeitdiagramm auf die gleiche Weise berechnen, wie wir die Geschwindigkeit auf einer Position vs. Zeitdiagramm berechnen. Die Beschleunigung ist die Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors, die sich als die Steigung des Geschwindigkeits-Zeit-Graphen ausdrückt. Für eine Geschwindigkeits-Zeit-Graph ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt t gleich der Steigung der Linie bei t. Was ist die Beschleunigung unserer Ameise bei t 2.5 und t 4. Wenn wir uns schnell an den Graphen anschauen, sehen wir, dass die Steigung der Linie bei t 2,5 Null ist und somit die Beschleunigung ebenfalls Null ist. Die Steigung des Graphen zwischen t 3 und t 5 ist konstant, so dass wir die Beschleunigung bei t 4 berechnen können, indem wir die mittlere Beschleunigung zwischen t 3 und t 5 berechnen: Das Minuszeichen sagt uns, dass die Beschleunigung in der nach links gerichteten Richtung ist Definiert die y-Koordinaten so, dass rechts positiv und links negativ ist. Bei t 3 bewegt sich die Ameise nach rechts bei 2 cm, so dass eine nach links gerichtete Beschleunigung bedeutet, dass die Ameise zu verlangsamen beginnt. Wenn wir die Grafik betrachten, können wir sehen, dass die Ameise bei t 4 aufhört und dann nach rechts beschleunigt. Velocity vs. Zeitgraphen können uns auch über eine Objektverschiebung erzählen. Weil die Geschwindigkeit ein Maß für die Verschiebung über die Zeit ist, können wir folgern, dass: Graphisch bedeutet dies, dass die Verschiebung in einem gegebenen Zeitintervall gleich dem Bereich unter dem Graphen während des gleichen Zeitintervalls ist. Ist der Graph oberhalb der t-Achse, so ist die positive Verschiebung der Bereich zwischen dem Graphen und der t-Achse. Wenn der Graph unterhalb der t-Achse liegt, dann ist die Verschiebung negativ und ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse. Lasst uns zwei Beispiele anschauen, um diese Regel klarer zu machen. Erstens, was ist die Ameisen Verschiebung zwischen t 2 und t 3. Da die Geschwindigkeit während dieses Zeitintervalls konstant ist, ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse ein Rechteck der Breite 1 und der Höhe 2. Die Verschiebung zwischen t 2 und T 3 ist die Fläche dieses Rechtecks, die 1 cm 2 cm rechts ist. Als nächstes betrachten wir die Ameisenverlagerung zwischen t 3 und t 5. Dieser Teil des Graphen gibt uns zwei Dreiecke, eine über der t-Achse und eine unterhalb der t-Achse. Beide Dreiecke haben eine Fläche von 1 2 (1 s) (2 cm) 1 cm. Allerdings liegt das erste Dreieck oberhalb der t-Achse, was bedeutet, dass die Verschiebung positiv und damit rechts ist, während das zweite Dreieck unterhalb der t-Achse liegt, was bedeutet, dass die Verschiebung negativ und damit nach links ist. Die Gesamtverschiebung zwischen t 3 und t 5 ist: Mit anderen Worten, bei t 5 ist die Ameise an der gleichen Stelle wie bei t 3. Curved Velocity vs. Time Graphs Wie bei Positions-Zeit-Graphen können auch Geschwindigkeits-Zeit-Graphen gekrümmt werden. Denken Sie daran, dass Regionen mit einem steilen Hang eine schnelle Beschleunigung oder Verzögerung anzeigen, Regionen mit einer sanften Neigung zeigen eine kleine Beschleunigung oder Verzögerung an und die Wendepunkte haben keine Beschleunigung. Beschleunigung vs. Zeitdiagramme Nach dem Betrachten von Positions-Zeit-Graphen und Geschwindigkeits-Zeit-Graphen sollten Beschleunigungs - und Zeitdiagramme nicht bedrohen. Lasst uns die Beschleunigung unserer Ameise an einem anderen Punkt in seinem schwindeligen Tag anschauen. Beschleunigung vs. Zeitgraphen geben uns Informationen über Beschleunigung und über Geschwindigkeit. SAT II Physik haftet in der Regel an Problemen, die eine konstante Beschleunigung beinhalten. In diesem Graphen beschleunigt die Ameise bei 1 ms 2 von t 2 bis t 5 und beschleunigt nicht zwischen t 6 und t 7, dh zwischen t 6 und t 7 ist die Ameisengeschwindigkeit konstant. Berechnen der Änderung in der Geschwindigkeitsbeschleunigung vs. Zeitgraphen erzählen uns über eine Objektgeschwindigkeit in der gleichen Weise, wie Geschwindigkeit und Zeitgraphen uns über eine Objektverschiebung erzählen. Die Geschwindigkeitsänderung in einem gegebenen Zeitintervall ist gleich dem Bereich unter dem Graphen während des gleichen Zeitintervalls. Sei vorsichtig: Der Bereich zwischen dem Graphen und der t-Achse gibt die Geschwindigkeitsänderung, nicht die endgültige Geschwindigkeit oder die mittlere Geschwindigkeit über einen gegebenen Zeitraum. Was ändert sich die Ameise in der Geschwindigkeit zwischen t 2 und t 5. Da die Beschleunigung während dieses Zeitintervalls konstant ist, ist die Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse ein Rechteck der Höhe 1 und der Länge 3. Die Fläche des schattierten Bereichs , Und folglich die Geschwindigkeitsänderung während dieses Zeitintervalls beträgt 1 cm 2 3 s 3 cms nach rechts. Dies bedeutet nicht, dass die Geschwindigkeit bei t 5 3 cm ist, bedeutet dies einfach, dass die Geschwindigkeit 3 cm größer ist als bei t 2. Da wir die Geschwindigkeit bei t 2 nicht gegeben haben, können wir nicht sofort sagen, was die Geschwindigkeit ist T 5 Zusammenfassung der Regeln für das Lesen von Graphen Sie können Schwierigkeiten haben, sich zu erinnern, wann man die Piste sucht und wann man den Bereich unter dem Graphen sucht. Hier sind ein paar handliche Faustregeln: Die Steigung auf einem gegebenen Graphen entspricht der Menge, die wir erhalten, indem wir die y-Achse durch die x-Achse teilen. Zum Beispiel gibt die y-Achse einer Position gegen Zeitgraph uns Verschiebung, und die x-Achse gibt uns Zeit. Verschiebung geteilt durch die Zeit gibt uns Geschwindigkeit, was ist, was die Steigung einer Position gegenüber Zeitdiagramm darstellt. Der Bereich unter einem gegebenen Graphen entspricht der Menge, die wir durch Multiplikation der x-Achse und der y-Achse erhalten. Zum Beispiel gibt uns die y-Achse einer Beschleunigungs - und Zeitgrafik Beschleunigung, und die x-Achse gibt uns Zeit. Die Beschleunigung multipliziert mit der Zeit gibt uns die Geschwindigkeitsänderung, was der Bereich zwischen dem Graphen und der x-Achse darstellt. Wir können zusammenfassen, was wir über Graphen in einer Tabelle wissen:
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